Прогнозирование случайных процессов

Материал из Documentation.

Прогнозирование случайных процессов (ПСП) — пред­ска­за­ние зна­че­ния слу­чай­но­го про­цес­са в не­ко­то­рый бу­ду­щий мо­мент вре­ме­ни по на­блю­дён­ным зна­чени­ям это­го про­цес­са.^[1]

Прак­ти­че­ски во всех пред­став­ляю­щих ин­те­рес си­туа­ци­ях пред­ска­зы­вае­мое зна­че­ние про­цес­са $X(t)$ в мо­мент $t=t_1$ не мо­жет быть точ­но оп­ре­де­ле­но по имею­щим­ся дан­ным на­блю­де­ний и мож­но лишь до­би­вать­ся, что­бы слу­чай­ная ошиб­ка про­гно­за $Δ=X(t_1)-\hat X(t_1)$, где $\hat X(t_1)$ — пред­ска­зан­ное зна­че­ние $X(t_1)$, в сред­нем бы­ла по воз­мож­но­сти наи­мень­шей. В тео­рии ПСП оп­ти­маль­ным (наи­луч­шим) счи­та­ет­ся про­гноз, для ко­то­ро­го ми­ни­маль­но ма­те­ма­тическое ожи­да­ние квад­ра­та ошиб­ки Δ; та­кой про­гноз сов­па­да­ет с ус­лов­ным ма­те­ма­тическим ожи­да­ни­ем слу­чай­ной ве­личи­ны $X(t_1)$ при ус­ло­вии, что на­блю­дае­мые ве­ли­чи­ны, по ко­то­рым стро­ит­ся про­гноз, при­ни­ма­ют фик­си­ро­ван­ные (из­вест­ные из на­блю­де­ний) зна­че­ния. Боль­шое ме­сто в тео­рии ПСП за­ни­ма­ет тео­рия оп­ти­маль­но­го ли­ней­но­го ПСП, по­свя­щён­ная ме­то­дам на­хо­ж­де­ния ли­ней­ной функ­ции от дан­ных на­блю­де­ний, та­кой, что для неё сред­ний квад­рат от­кло­не­ния от $X(t_1)$ мень­ше, чем для всех дру­гих ли­ней­ных функ­ций; в ря­де прак­тически важ­ных слу­ча­ев та­кое оп­ти­маль­ное ли­ней­ное ПСП сов­па­да­ет с об­щим оп­ти­маль­ным про­гно­зи­ро­ва­ни­ем слу­чай­ных про­цес­сов.^[2]

Об­щая тео­рия оп­ти­маль­но­го ли­ней­но­го ПСП для ста­цио­нар­ных слу­чай­ных про­цес­сов бы­ла раз­ра­бо­та­на А. Н. Кол­мо­го­ро­вым и Н. Ви­не­ром в 1940-х годах. Боль­шое раз­ви­тие по­лу­чи­ла так­же тео­рия оп­ти­маль­но­го (и ли­ней­но­го, и об­ще­го не­ли­ней­но­го) про­гно­зи­ро­ва­ния про­цес­сов, свя­зан­ных с мар­ков­ски­ми про­цес­са­ми.^[3]

[править] Примечания

1. ↑ [1]
2. ↑ [2]
3. ↑ [3]