Экстремум
Материал из Documentation.
Экстремум (лат. extremum, букв. — крайнее) — значение непрерывной функции, являющееся её максимумом или минимумом. Точнее, непрерывная в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет в $x_0$ максимум (локальный максимум) или минимум (локальный минимум), если существует окрестность ($x_0-δ$, $x_0+δ$) этой точки, содержащаяся в области определения $f(x)$, такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство $f(x_0) ⩾ f(x)$ (соответственно $f(x_0) ⩽ f(x))$. Если при этом существует такая окрестность, что в ней $f(x_0) > f(x)$ (или $f(x_0) < f(x))$ при $x_0≠x$, то говорят о строгом локальном максимуме (или строгом локальном минимуме), в противном случае – о нестрогом локальном максимуме (или нестрогом локальном минимуме).[1]
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x) на множестве X, если f(x0)⩾f(x) (f(x0)⩽f(x)) для всех x∈X. Иногда максимум (минимум) на множестве X называется абсолютным (глобальным) максимумом (абсолютным минимумом) на этом множестве, в отличие от локального. Абсолютный максимум (минимум) функции является одновременно и локальным, однако локальный максимум (минимум) может быть меньше (больше) абсолютного. При отыскании абсолютного максимума (минимума) находят локальные максимумы (минимумы), если они есть, и среди них выбирают наибольший (наименьший). Для некоторых множеств X необходимо учитывать значения функции на границах множества. Напр., функция f(x)=x на отрезке [0, 1] не имеет локальных экстремумов. Макс. значение этой функции достигается в точке 1 и равно 1, миним. значение достигается в точке 0 и равно 0. В то же время эта функция на интервале (0, 1) не имеет ни максимума, ни минимума.[2]
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f(x) имела Э. в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывной в x0 и чтобы либо f´(x0)=0 (точка A на рисунке), либо f´(x0) не существовала (точка C на рисунке). Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f´(x) слева от x0 положительна, а справа отрицательна, то f(x) имеет в точке x0 максимум; если f´(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то – минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f´(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция f(x) не имеет Э. в точке x0 (точки D, E, F на рисунке). Если f(x) в точке x0 имеет n последовательных производных, причём f´(x0)=f(x0)=...=f(n–1)(x0)=0, а f(n)(x0)≠0, то при n нечётном f(x) не имеет Э. в точке x0, а при n чётном имеет минимум, если f(n)(x0)>0, и максимум, если f(n)(x0)<0.[3]
Аналогично определяется Э. функции нескольких переменных.[4]
