Математический анализ
Материал из Documentation.
Математический анализ (МА) — раздел математики, в котором переменные величины (функции и их обобщения) изучаются с использованием пределов. Понятие предела связано с понятием бесконечно малой величины, и иногда говорят, что МА изучает функции и их обобщения с использованием метода бесконечно малых. Старое назв. МА — «Анализ бесконечно малых», точнее было бы: анализ посредством бесконечно малых. В классич. МА объектами изучения являются прежде всего функции. Развитие МА привело к возможности изучения с помощью его методов более сложных объектов, чем функции, напр. функционалов и операторов. В природе и технике всюду встречаются движения и процессы, которые описываются функциями; законы и явления природы также описываются функциями. Отсюда следует важность МА как средства изучения функций.[1]
МА в широком понимании этого термина охватывает весьма большyю часть математики. В него входят дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория функций действительного переменного, комплексный анализ, приближение функций, теория дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, функциональный анализ и некоторые др. математич. дисциплины. Совр. чисел теория и вероятностей теория применяют и развивают методы МА. Иногда термин «математический анализ» употребляют только для основ МА, объединяющих в себе теорию действительных чисел, теорию пределов, теорию рядов, дифференциальное и интегральное исчисление и их непосредственные приложения, такие как теория максимумов и минимумов, теория неявных функций, ряды Фурье, интегралы Фурье.[2]
Функция. В МА исходят из определения функции, которое в случае числовых функций одного переменного формулируется следующим образом: если каждому числу $x$ из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число $y$, то этим определена функция $y=f(x)$ переменного $x$, называемого аргументом функции. Аналогично определяются функции $n$ переменных $f(x) =f(x_1,x_2,…,x_n)$, где $x= (x_1,x_2,…,x_n)$ — точки $n$-мерного пространства, рассматривают также функции $f(x)=f(x_1,x_2,..)$ точек $x=(x_1,x_2,…)$ бесконечномерных пространств, такие функции чаще называют функционалами.[3]
Элементарные функции. Фундам. значение в МА имеют элементарные функции, ими, в частности, приближают функции более сложной природы. Элементарные функции рассматривают не только для действительных, но и для компле́ксных аргументов.[4]
Действительное число. Изучение функций базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в кон. 19 в. В частности, была установлена логически безупречная связь между числами и точками прямой, приведшая к формальному обоснованию идей Р. Декарта (сер. 17 в.), который ввёл в математику прямоугольную систему координат (Декартова система координат) и представление функций графиками.[5]
Предел. В МА при изучении функций используется предельный переход, с помощью которого определяются разл. пределы, напр. предел последовательности и предел функции. Эти понятия окончательно сформировались только в 19 в., хотя представление о них имели ещё древние греки. Так, Архимед умел вычислять площадь сегмента параболы при помощи процесса, который сейчас называется предельным переходом.[6]
Непрерывные функции. Важный класс функций, изучаемых в МА, составляют непрерывные функции. Функция называется непрерывной на интервале $(a, b)$, если она непрерывна во всех его точках; график непрерывной функции представляет собой кривую, непрерывную в обыденном понимании этого слова.[7]
Производная и дифференциал. Среди непрерывных функций выделяются функции, имеющие производную.[8]
По знаку производной $f'(x)$ можно судить о характере изменения $f(x)$: если $f'(x) > 0$ (или $f'(x) < 0$) на интервале $(c,d)$, принадлежащем $(a,b)$, то функция $f$ возрастает (соответственно, убывает) на интервале $(c,d)$. Если функция $f$ в точке $x_0$, $a < x_0 < b$, достигает экстремума (максимума или минимума) и имеет в этой точке производную, то $f'(x_0)=0$, иначе говоря, скорость изменения $f(x)$ при $x=x_0$ равна нулю.[9]
Интеграл. Наряду с производной, фундам. значение в МА имеет понятие интеграла. Говорят, что функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$ на интервале $(a, b)$, если на этом интервале $F'(x)=f(x)$. Неопределённым интегралом от функции $f(x)$ на интервале $(a, b)$ называется произвольная первообразная функции $f(x)$ на этом интервале.[10]
Если функция $f(x)$ положительна и непрерывна на отрезке $[a, b]$, то интеграл от неё на этом отрезке равен площади фигуры, ограниченной кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$.[11]
Формула Ньютона — Лейбница. Между производной и интегралом имеется связь, выражаемая формулой Ньютона — Лейбница.[12]
Формула и ряд Тейлора. Наряду с производной и интегралом важнейшим понятием и инструментом исследования в МА является Тейлора формула и Тейлора ряд.[13]
[править] История
До 17 в. МА представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Напр., в интегральном исчислении — это задачи на вычисление площадей фигур, объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т. д. Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким. МА как единое и систематич. целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. В. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и др. учёных 17-18 вв., а его база — теория пределов — была разработана О. Коши в нач. 19 в. Глубокий анализ исходных понятий МА был связан с развитием в 19-20 вв. множеств теории, теории меры, теории функций действительного переменного и привёл к разнообразным обобщениям.[14]
[править] Примечания
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
- ↑ Математический анализ
