Редактирование Вычислительная математика (секция)

Материал из Documentation.

== Разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач == Изу­че­ние ре­аль­ных яв­ле­ний на ос­но­ве ана­ли­за по­стро­ен­ных мо­де­лей за­час­тую тре­бу­ет раз­ра­бот­ки но­вых чис­лен­ных ме­то­дов, и в пер­вую оче­редь ме­то­дов ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач (В. м. в уз­ком смыс­ле сло­ва). При­ме­ра­ми ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач яв­ля­ют­ся за­да­чи ал­геб­ры, свя­зан­ные с чис­лен­ны­ми ме­то­да­ми ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ний (в осо­бен­но­сти, боль­ших сис­тем и сис­тем с раз­ре­жен­ны­ми мат­ри­ца­ми), об­ра­ще­ни­ем мат­риц, на­хо­ж­де­ни­ем собств. зна­че­ний мат­риц. Др. при­ме­ры свя­за­ны с чис­лен­ным диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем и чис­лен­ным ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем функ­ций од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных, чис­лен­ны­ми ме­то­да­ми ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, ме­то­да­ми ре­ше­ния ин­те­граль­ных урав­не­ний. Мн. ис­сле­до­ва­ния по­свя­ще­ны чис­лен­ным ме­то­дам ре­ше­ния урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми. Здесь боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся эко­но­мич­ным ме­тодам, по­зво­ляю­щим по­лу­чать ре­ше­ние при от­но­си­тель­но ма­лом чис­ле опе­ра­ций. Важ­ный раз­дел ВМ со­став­ля­ют [[чис­лен­ные ме­то­ды оп­ти­ми­за­ции]]. [[За­да­чи оп­ти­ми­за­ции]] со­сто­ят в на­хо­ж­де­нии экс­тре­маль­ных (наи­боль­ших или наи­мень­ших) зна­че­ний функ­цио­на­лов на мно­же­ст­вах, час­то имею­щих весь­ма слож­ную струк­ту­ру. Сю­да от­но­сят­ся за­да­чи [[математическое программирование|ма­те­ма­тического про­грам­ми­ро­ва­ния]] (в том числе [[линейное программирование|ли­ней­но­го]] и [[динамическое программирование|ди­на­ми­че­ско­го]]), к ко­то­рым сво­дят­ся многие за­да­чи управ­ле­ния и эко­но­ми­ки. К за­да­чам оп­ти­ми­за­ции при­мы­ка­ют [[ми­ни­макс­ные за­да­чи]], воз­ни­каю­щие в [[теория игр|тео­рии игр]] и в [[исследование операций|ис­сле­до­ва­нии опе­ра­ций]]. При ре­ше­нии наи­бо­лее слож­ных при­клад­ных за­дач по­лу­чи­ли рас­про­стра­не­ние чис­лен­но-асим­пто­тич. ме­то­ды, со­че­таю­щие ме­то­ды раз­ло­же­ния ре­ше­ний в ря­ды (по ма­лым па­ра­мет­рам) с ис­поль­зо­ва­ни­ем воз­мож­но­стей ком­пь­ю­те­ров. Важ­ное на­прав­ле­ние в тео­рии чис­лен­ных ме­то­дов свя­за­но с ис­сле­до­ва­ни­ем их ус­той­чи­во­сти к различного ро­да ошиб­кам (в том числе к [[ошибка округления|ошиб­кам ок­руг­ле­ния]]). Боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся раз­ра­бот­ке ме­то­дов ре­ше­ния т. н. не­кор­рект­ных или об­рат­ных за­дач. К ним от­но­сят­ся, напр., за­да­чи оп­ре­де­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний по из­вест­но­му с не­ко­то­рой по­греш­но­стью ре­ше­нию, за­да­чи об­ра­бот­ки ре­зуль­та­тов фи­зических экс­пе­ри­мен­тов, за­да­чи гео­фи­зи­ки, ма­те­ма­тич. за­да­чи, свя­зан­ные с об­на­ру­же­ни­ем за­ле­жей по­лез­ных ис­ко­пае­мых. В ча­ст­но­сти, ти­пич­ная ма­те­ма­тич. за­да­ча оп­ре­де­ле­ния эле­мен­та x из урав­не­ния Ax=b при за­дан­ных мат­ри­це A и век­то­ре b час­то ока­зы­ва­ет­ся не­ус­той­чи­вой (не­кор­рект­но по­став­лен­ной) в том смыс­ле, что ма­лым по­греш­но­стям вход­ных дан­ных мо­гут со­от­вет­ст­во­вать боль­шие по­греш­но­сти ре­ше­ния x. К клас­су не­кор­рект­ных за­дач от­но­сят­ся многие [[за­да­чи об­ра­бот­ки ин­фор­ма­ции]], в ча­ст­но­сти за­да­чи рас­по­зна­ва­ния об­ра­зов, про­мыш­лен­ной и медицинской ди­аг­но­сти­ки, ре­че­во­го вво­да дан­ных.<ref>[https://bigenc.ru/mathematics/text/2379605]</ref> В боль­шин­ст­ве раз­де­лов ВМ важ­ное ме­сто за­ни­ма­ют во­про­сы оп­ти­ми­за­ции чис­лен­ных ме­то­дов ре­ше­ния. Для ши­ро­ких клас­сов за­дач уда­лось по­стро­ить ме­то­ды с вы­чис­лит. за­тра­та­ми, близ­ки­ми к ми­ни­маль­но воз­мож­ным. В тео­ре­тич. ма­те­ма­ти­ке ве­дут­ся ис­сле­до­ва­ния слож­но­сти ал­го­рит­мов, важ­ные при ре­ше­нии ре­аль­ных при­клад­ных за­дач.<ref>[https://bigenc.ru/mathematics/text/2379605]</ref>

---

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)